¿Cantidad o calidad en la operación?

Toda la vida me dijeron que cuanto más practicase algo, mejor me saldría, que cuanto más leyese, mejor ortografía tendría, cuanto más repitiese mis escalas con la guitarra mejor sonaría mi instrumento, y que cuanto más operase y más rápido lo hiciese, mejor entendería las matemáticas. Después de intentarlo, esta ha sido una verdad a medias, ya que para determinadas realidades así se ha cumplido, pero para otras no. Para aquellas actividades en las que dependía de la pericia física funcionó; cuantas más escalas realizaba mayor era mi agilidad con el instrumento, cuanto más ensayaba mayor era la velocidad que adquiría en dicho actividad, pero por desgracia, con el resto no fue así. 

Cuanto más leía, no mejoraba  mi ortografía, seguía cometiendo las mismas faltas día tras día; solamente mejoraba cuando prestaba atención de verdad a lo que escribía, con interés real, rememorando las imágenes de las palabras que me habían aportado algo, que tenían algún tipo de significado más allá del literal. En el caso de la matemática ocurre lo mismo, cuantas más operaciones realizaba no mejoraba ni mi velocidad ni mi comprensión del algoritmo.

Me cuesta descubrir entre tanta prisa por operar velozmente  dónde se encuentra la actividad mental del niño, el verdadero aprendizaje. Dónde está el lugar para la interpretación, la formulación de hipótesis, el cálculo y la aplicación de los descubrimientos y relaciones establecidas con anterioridad. “Se opera y punto” me dijo la profesora; pues lo siento creo que no.

¿Quién sabe más, un alumno que resuelve 15 operaciones en menos de 10 minutos, o el alumno que resuelve tres o cuatro, pero siendo consciente de cada paso que realiza?

Confío en que todos estamos de acuerdo. Resolver por resolver no tiene ningún sentido. La mecanización de los procesos matemáticos es buena, pero como colofón al proceso del aprendizaje. Antes no, y menos como inicio del aprendizaje. Desear que nuestros alumnos sean capaces de entender la propuesta de cada operación, y decidir que tipo de estrategia resolutiva van a aplicar para conseguir su resultado es sin duda maravilloso. 

Es ese momento en el que el alumno se siente libre y capaz de intentarlo, feliz de proponer una opción de resolución que puede que no sea la adecuada, pero que de no serlo le aportará más información para futuras propuestas.

Es por ello que no podemos medir la capacidad matemática de los alumnos por el número de operaciones que realizan, sino por la calidad de la actividad mental que despierta en ellos. De esta manera colaboraremos en el desarrollo de creación de estrategias, propias y ajenas; estableceremos infinitas relaciones, en la provocación de posibilidades y opciones diferentes y todas interesantes de comprobar, en la construcción de libertad, amplitud intelectual y por lo tanto, de felicidad.

2016, Diciembre.

Cálculo mental Vs Cálculo escrito

Cálculo mental Vs Cálculo escrito

Rubén Yebra Gómez, Julio 2015.

Desde hace mucho, mucho tiempo, escuchamos y leemos en los boletines de notas de nuestros hijos, vecinos y alumnos, ítems diferentes que forman parte de los aspectos que se evalúan en la asignatura de matemáticas. Estos son: el cálculo mental y el cálculo escrito. Dos ítems bien diferenciados.

Carlitos, que es un niño muy cariñoso, aunque algo revoltoso en clase, siempre obtiene buenas calificaciones en el aspecto del cálculo mental, pero luego baja mucho su nota en el del cálculo escrito.

Sus padres están muy preocupados, ya que el cálculo que realiza en los ejercicios es el que hace que sus calificaciones bajen en gran medida. Sus padres se plantean que el niño tiene un “gran problema” con las matemáticas y que cuando lleguen los niveles altos de primaria, suspenderá si no cambia esta situación.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cual es la diferencia entre el cálculo mental y el escrito?

De verás espero que alguien en alguien en algún momento me explique esta diferencia, ya que no consigo verla. Si Carlitos es capaz de calcular mentalmente, ¿cual es el motivo de que no lo consiga por medio de la escritura? 

Desde mi punto de vista el calculo es cálculo, sea mental (en cuyo caso sólo podemos evaluar el resultado y de ninguna manera el proceso, por lo que nos perdemos lo más importante del “juego”), sea con papel y lápiz, o con la calculadora (si, calculadora; ese “coco” prohibido durante años, que es más que útil para el desarrollo del cálculo, pero que hemos visto desde la distancia durante tanto tiempo).

La gran labor será descubrir cual es el motivo por el que Carlitos falla a la hora de transcribir u ordenar en papel el cálculo que de forma correcta realiza de forma libre en su cabeza. Quizá debemos prestar atención a los procesos evaluativos que utilizamos( tema aparte que veremos en otros post, ya que tienen mucha miga…).

Quizá estemos atemorizando a los alumnos, obligándoles a seguir unos caminos, unos procesos que no son los suyos, lógicos al 100%, en pro de utilizar de forma única los nuestros. Obligamos a Carlitos a ser un mago, un mutante de cómic con poderes sobrehumanos, por los que a partir de premisas que nosotros decidimos son las justas y necesarias, debe averiguar lo que en nuestra cabeza aparece como proceso único o resultado único (como sucede en la resolución de problemas).

Creo que nuestra labor como docentes, debe comenzar por respetar al alumno y su forma única y diferente de pensar, de soñar, de crear y de proceder. Desde ese momento descubrir los procesos cuyo final es válido (que no será uno, sino muchos) y darle la libertad de usarlo. Carlitos podrá utilizar aquel procedimiento que le haga ser él, con el que se sienta cómodo, hábil y sobre todo feliz. El niño ya lo hace en su cabeza, pero a la hora de transcribirlo ve coartada esa libertad y alegría de realizar aquello con lo que se siente feliz.

Es por ello que creo que ningún niño debería tener problemas en el aprendizaje de la matemática, si bien cada persona tenemos una capacidad diferente, pero como dice el profesor J. A. Fernández Bravo “todos tenemos la necesidad de aprender la matemática”.

Se abren muchos aspectos para escribir, leer, pensar y discutir, pero siempre teniendo como objetivo único la mejora de la acción didáctica, respetuosa, cariñosa, agradable de la matemática. 

Querido amigo, busca ante todo calcular tú, 

que calculen ellos, 

pero ante todo, que sea útil, eficaz y … divertido.

2015, Julio

Pensamiento Lógico en las Matemáticas

Pensamiento Lógico y Matemático en la Didáctica de las Matemáticas.

Cuando hablamos de pensamiento lógico resulta imposible diferenciarlo o separarlo de otros dos aspectos de suma importancia como son: la observación y la creatividad. Es alrededor de estos dónde fundamentamos la didáctica que nos ocupa. El dominio del desarrollo en la edad escolar es un momento que jamás se repetirá en el mismo grado de esplendor a lo largo de nuestras vidas; a eso le debemos sumar el enorme potencial de vida activa y afectiva que despliegan los alumnos, resultando unos niveles incalculables respecto a sus posibilidades en el momento del aprendizaje.

La enseñanza de la matemática tiene como finalidad fundamental el desarrollo de las capacidades de abstracción y de razonamiento. En muchos casos hemos caído en el error de acortar el proceso de enseñanza basándonos en la cuantificación de contenidos, sin atender a las necesidades del alumno ni a su momento evolutivo. Hemos dejado de respetar y de escuchar al niño, nos hemos centrado en las programaciones y en las propuestas editoriales en vez de usarlas para los fines que a nosotros nos interesan y cuando a nosotros nos interesan.

Recuerdo el día en que una profesora de matemáticas me explicaba que su objetivo final en la asignatura era que los alumnos realizasen el mayor número de operaciones en el menor tiempo posible, mecanizando los procesos, los algoritmos y dejando prácticamente al azar la comprensión de los mismos. 

La mecanización no es un proceso incorrecto aunque si mal situado en el acto del aprendizaje, ya que de forma tradicional le damos la importancia y la relevancia que deberíamos otorgar a la construcción del concepto. Hablamos de observación porque es desde la atención al alumno, la escucha activa de sus palabras y la comprensión de sus necesidades y capacidades, desde donde debemos fomentar el descubrimiento del concepto. El papel del profesor debe ser de guía en el descubrimiento, de presentador de opciones y variantes, de retos, ejemplos y contraejemplos. Es por ello que debemos destacar la importancia elemental del error.

Basamos nuestra didáctica en una búsqueda del acierto, reduciendo al máximo el error como elemento negativo, de esta forma imponemos expresiones contundentes del estilo del “bien” o “mal” a los procesos metacognitivos de los alumnos. No nos paramos a pensar en la relevancia de las palabras que usamos, de la tensión y potencia que las mismas ejercen sobre nuestros alumnos. Empieza a ser una mayoría la de los alumnos que ante la pregunta del profesor, sienten una frustración y presión incalculable frente la posibilidad del error. Jugamos a que los alumnos acierten lo que nuestras mentes mantienen secuestrado, en vez de crear y descubrir las múltiples posibilidades que ante un desafío se nos presentan (unas serán acertadas o correctas y muchas otras incorrectas).  

Valga de ejemplo al respecto, el comentario que una compañera me hacía con preocupación por su sobrina de sexto de primaria que había suspendido la asignatura de matemáticas por “dividir restando a estas alturas no se puede permitir, aunque el resultado sea el correcto.” Es una clara muestra del estrés y presión al que sometemos a nuestros alumnos, no respetando su decisión de proceder libremente causando, además, en la mayoría de los casos una aversión férrea a la práctica matemática.

Podemos entender así las palabras del empresario e inventor Thomas Alba Edison al descubrir después de largos años de investigaciones y ensayos la bombilla: “No fracasé, sólo descubrí 999 maneras de cómo no hacer una bombilla.” Gracias a estos fallos podemos disfrutar de multitud de invenciones absolutamente geniales.

Debemos pues utilizar el error como una fuente de conocimiento. 

“Aprendo más cosas cuando se que 3 + 2, 3 + 5, 5 + 4, … no son siete, que sabiendo sólo que 3 + 4 y 4 + 3 son siete.” Arturo. M.R. Alumno de 2º de Primaria.

Nos queda atender a la creatividad, basada en la realidad del alumno y la experiencia de la manipulación de materiales. ¿Por qué no creer en la creación de algoritmos innovadores?, entendiendo como aquellos que se aplican por decisión propia.

Este conflicto surge en la resolución de problemas, cuando encontramos planteamientos de múltiples soluciones y desarrollos, pero esperamos una “única respuesta correcta”, la del profesor.

Cómo dice el profesor José Antonio Fernández Bravo : “El objetivo global es de cualquier manera ESCUCHAR AL NIÑO, teniendo presente, y en todo momento, su espontaneidad, que habrá que conducir o recoger adaptándola, como medio, a la actividad que estemos desplegando. Tal conducción o recogimiento obligará al profesor a extender la actividad, a resumirla o a crear otras intermedias. En definitiva, a tener en cuenta que los imprevistos de las respuestas del aula no son obstáculos, sino caminos abiertos a los que hay que dar forma en función del objetivo.”

Finalmente establecer el máximo de relaciones debe ser, a nuestro juicio, la prioridad tras el descubrimiento del concepto, de modo que desarrollaremos la observación, la experimentación mediante los materiales y prácticas, la intuición, el razonamiento lógico, la creatividad y la emoción por el saber hacer. De esta forma huiremos del denominado algoritmo sumiso, consiguiendo alumnos que intenten por sus propios métodos lograr resultados a través de multitud de hipótesis e intentos cargados de significado conceptual.

Además podemos observar como los alumnos que así lo hacen, consiguen en la mayoría de las ocasiones obtener antes el resultado que los alumnos que no utilizan sus propios métodos. Así la creación de relaciones entre conceptos matemáticos reales y aplicables a situaciones cotidianas produce que lo que anteriormente denominábamos adquisición de conceptos, y que ahora llamamos “construcción” de conceptos es inmensamente significativa. 

Es la única forma de evitar que alumnos que saben dividir perfectamente durante todo una evaluación regresen de las vacaciones de navidad preocupados porque no recuerdan cómo era “aquello de dividir entre dos cifras…” por ejemplo.

La mecanización aparece en este momento como consecuencia de la utilización de la lógica, el razonamiento y la aplicación de relaciones entre conceptos y realidades de forma continuada. LA mecanización aparece por lo tanto como consecuencia del uso del algoritmo. Este proceso es en apariencia más lento, pero sin duda alguna mucho más profundo y significativo. 

Aplicar la didáctica de la lógica matemática supone un enfoque diferente y cuidadoso de la enseñanza de la aritmética relacionado con las estrategias de resolución de los propios alumnos, en lugar de centrarse en las soluciones acertadas (ya que el azar en la actualidad cuenta con un importante papel en la mayoría de los casos de acierto); en el razonamiento, en vez de atender a la aplicación mecánica de reglas y procedimientos sin sentido, en el análisis y discusión de las hipótesis/soluciones aportadas por los propios alumnos, en lugar de hacerlo únicamente en las explicaciones del profesor.

2015, Mayo.

Algo sobre la multiplicación.

LA MULTIPLICACIÓN

      Cuando hablamos de multiplicar nos centramos en una secuencia de operaciones logarítmicas sin significado alguno en la que la única premisa válida parece ser la velocidad de resolución mecánica.

Deberíamos incorporar un significado que dote de fundamento epistemológico al conocimiento del que tratamos. No debemos tener miedo a perder los principios científicos, recordamos que nuestra labor se basa en la construcción de conceptos matemáticos a partir del propio lenguaje del niño respetando además su momento evolutivo. El momento de mostrar el lenguaje científico llegará.

Cuando expresamos el algoritmo como la acumulación de sumandos iguales, ponemos en gran riesgo la comprensión del logaritmo original. 

3 x 5 = 5 + 5 + 5

Recuerdo el día en que una profesora de matemáticas me explicaba que su objetivo final en la asignatura era el que los alumnos realizaran el mayor número de operaciones en el menor tiempo posible, mecanizando los procesos y dejando casi al azar la comprensión de los mismos. La mecanización no es para nada incorrecta, tiene su tiempo y su lugar, pero sí el momento en el que la prestamos atención.

Comencemos por prestar atención al aspecto referente a la definición tradicional: “Multiplicación: suma de sumandos iguales.” . La realidad nos dice que la suma no es una multiplicación. En el algoritmo de la suma únicamente aparece un único conjunto, canicas y canicas o coches y coches, mientras que en el logaritmo de la multiplicación aparecen dos universos distintos y totalmente diferenciados: euros y bollos, bolsas y caramelos. La pregunta a hacernos es ¿cuantas veces hemos recordado a los niños que “sólo se suman cosas iguales”…? Cierto es que lo único que hacemos en complicar el acceso a la construcción del concepto.

Siendo así las trabas y trampas que les colocamos por el camino sin darnos cuenta no debe ser muy descabellada la realidad de que los alumnos sienten verdadera dificultad a la hora de resolver problemas de multiplicación porque los confunden con la suma. 

Si mostramos las dos realidades de la multiplicación como “veces”  resolvemos de inmediato todas estas trabas. De modo que lo que mi maestra de escuela me hizo aprender de memoria y con el duro paso del tiempo intuir como realidad en mi vida 3 x 5, nosotros lo llamaremos: tres veces cinco.

Contemos un cuento: (-que pena que dejemos de contar historias, cuentos, fábulas, con canciones, imaginación, mundos de fantasía; lugares dónde la libre imaginación nunca destruye, solo fabrica y mejora lo que la realidad nos propone.-)

“Juan es un pastelero, el mejor pastelero del reino. De todas partes viajaban carruajes para pedirle tartas y pasteles. Hasta el mismo Duque le pedía todos los jueves un pastel de manzana. La Marquesa le pedía todos los martes tres pastelitos de frambuesa, y el Rey (que era algo glotón) le pedía todas las mañanas un buen croissant para desayunar. 

Un buen día, Carlos, el comerciante más importante de la comarca le encargó que le hiciese unos pasteles de crema de chocolate para regalar a sus mejores clientes. Le encargó exactamente tres bandejas con cinco pasteles cada una.

Juan así lo hizo, amasó y amasó hasta que terminó tres bandejas con cinco pasteles en cada una.

¿Sabrías decirme cual es la cantidad de pasteles que encargó Carlos, el comerciante más importante de la comarca?”

De esta forma podemos construir la expresión “tres veces cinco”, que con el paso del tiempo modificaremos en “tres multiplicado por 5”, para terminar jugando a 3 x 5.

De esta manera aparecen los dos universos de que hablamos. Si a esto le añadimos el agradable ingrediente de la manipulación de los materiales podremos asistir como espectadores al maravilloso espectáculo del aprendizaje.

Una vez aclarado este aspecto, podemos recuperar los viejos y no tan viejos manuales de matemáticas en los que la explicación de la expresión 2 x 5 esta basada en un error gravísimo:

2 x 5 = “dos sumado cinco veces” = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 

Cuando la expresión dos veces cinco (2 veces 5 o 2 x 5) nos deja tan claro que 2 x 5 = 5 + 5 = 10.
Muchos en este momento pensareis que vuestros manuales expresan y aplican las tablas de forma errónea y es cierto. Otros me diréis que da lo mismo, puesto que 2 x 4 es lo mismo que 4 x 2.
Al este respecto os dejo la explicación de Arturo (7 años) de porqué no es lo mismo:

“Profe, no es lo mismo comprarte dos sobres de cromos por cuatro euros que cuatro sobres de cromos por dos euros. Lo que si es igual es el resultado, pero no significa lo mismo.”

Y cierto es, su resultado es el mismo, pero significa lo mismo para nada. El problema viene dado en la no diferenciación de los universos distintos. La mente de Arturo lo ve clarísimo, porque en su vida no es lo mismo comprar dos sobres (en los que viene seis cromos, yo lo tenía olvidado…) que comprar cuatro sobres. ¡12 cromos no es lo mismo que 24!

Aquí os dejo por ahora. Espero que sirva de punto de inflexión para pensar, opinar y cambiar nuestra forma de dar clase.
En breve trataremos sobre la memorización de las tablas de multiplicar y las métodos de multiplicar.
Un saludo.

2015, Mayo.

Cálculo mental con el ordenador en familia.

          Cuando hablamos de cálculo mental parece que debamos diferenciar entre cálculo con lápiz y cálculo en silencio con nuestros pensamientos como única herramienta. Mi pregunta es: ¿Existe deferencia entre el cálculo con el lápiz y el cálculo sin él?, creo que no, el cálculo es cálculo, sea cual sea la herramienta o artilugio que utilicemos para "jugar" con él.

Si, digo jugar, porque a eso debe reducirse esta tarea tan desagradable en multitud de casos y que tan de cabeza nos trae a los padres. Porqué no jugar a calcular tras las cenas de los viernes, después de la "pizza" o de las famosas "alitas de pollo de mamá"; por qué no en vez de intercambiar los memes de nuestros smartphones(que son muy divertidos, pero no nos aportan gran cosa) jugamos a las cartas, a esos juegos tradicionales como la escoba, con la que conseguimos agilizar las sumas del 15, o este juego que os propongo "ANZAN".

En él podréis realizar sumas de dígitos ajustando los tiempos de aparición, cántidad de números y dígitos de que están compuestos.

Yo puedo decir que lo uso cada año en mis clases de matemáticas y cada vez más y más familias me comentan que se convierte en un imprescindible de sus veladas no sólo en familia, sino con amigos.

Juguemos con nuestros hijos y alumnos a calcular.
Hagamos que los padres calculen delante de los niños para que estos quieran hacerlo y disfruten con ello.
Utilicemos todas las herramientas de que disponemos a nuestro alcance para crear y construir conocimiento.

Espero disfrutéis casi tanto como lo hago yo cada semana con mis niños calculando.

http://www.japanmatrix.com/anzan/

2015, Mayo.

La enseñanza de las Matemáticas en Educación Primaria.

    La enseñanza de la Matemática tiene como finalidad el desarrollar la capacidad de razonamiento y la facultad de abstracción.

El cerebro expresa un dominio de desarrollo en la edad escolar que no se repetirá con el mismo esplendor a lo largo de nuestra vida. si a esto le añadimos el deseo hiperactivo por descubrir y el enorme potencial de vida activa y afectiva que se puede desplegar, la capacidad de aprendizaje a esas edades es incalculable.

El rigor lógico y los diferentes métodos aplicados a los distintos fenómenos y aspectos de la realidad deben ir unidos a la observación y a la experimentación para potenciar el aprendizaje.

El método basa su desarrollo en la observación, la intuición, la creatividad, el diálogo y el razonamiento lógico, junto con la acción del alumno.

Incorporar a la mente del niño un conjunto de términos y representaciones incomprensibles perjudica su acción formativa, pero la disminución de contenido que pueda comprenderse perjudica al desarrollo; tanto error se comete cuando intentamos que un niño aprenda algo que supera su comprensión, como cuando disminuimos la cantidad de conocimiento y facilitamos el esfuerzo intelectual al que un niño hubiera podido llegar.

Resumimos en una clave, lo importante es cuantas relaciones se establecen y cómo dinamizan lo que han aprendido; si reconocen la afectividad del saber en fusión con sus experiencias, y conciben ideas que permitan crear, en contacto con la realidad, lazos objetivos con la Matemática.

La enseñanza de la Matemática debe apostar por lo tanto por acciones metacognitivas reales para el aprendizaje, para ello es importante:

•   Basar la educación de las materias en la experiencia, en el descubrimiento y construcción de los conceptos, procedimientos y estrategias; más que en la instrucción.

•   Basar la educación en estrategias de falsación (estamos acostumbrados a basar el aprendizaje en una respuesta correcta exclusivamente y no en el error, que es más interesante y extenso en conocimientos finalmente.) y en los contraejemplos como herramienta de creación de relaciones.

•   Evitar el “bien” o “mal” como autoridad que sustituye a la evidencia. Extender y transferir los conocimientos generando articuladas redes de aplicación.

•   Prestar atención a la manipulación de todos aquellos materiales con actividades que optimicen el entendimiento, que provoquen, desafíen, motiven porque actualicen las necesidades reales del alumno.

• Utilización de un lenguaje simple, claro y preciso en la presentación de las actividades y enunciación de conceptos.

•   Respetar al alumno cuando vive el acto de pensar. Escucharlo y siempre desde sus palabras crear y descubrir la Matemática. ser felices por lo tanto permitiendo que el alumno lo sea en su quehacer.

•   Potenciar la autoestima, la confianza, la seguridad…

•   Crear el hábito de explicar mediante argumentos lógicos las conclusiones creadas, evitando el “porque sí”.

•   Crear un uso de las reglas de la lógica para permitir un desarrollo del pensamiento en el que crear y utilizar las relaciones sea un juego y un disfrute real, contrastando las respuestas antes de optar por una de ellas.

Rubén Yebra Gómez

2015, Mayo

               Buenas a todo el mundo, comienzo este blog con el ánimo de crear un espacio dónde todos podamos plasmar nuestras inquietudes y vivencias sobre la enseñanza de las matemáticas.

De forma respetuosa podremos discutir y aprender sobre los procesos metacognitivos, sobre la creación de relaciones entre conceptos y porqué no, descubrir nuevos modelos sobre los que podamos posteriormente basar nuestras sesiones con los chicos y chocas de nuestras clases de matemáticas.
No deseo acotar este espacio a maestros, por lo que la visión de padres y alumnos debe ser atendida, escuchada y respetada de igual forma por lo importante de su opinión y punto de vista.

Espero este "RINCÓN DEL PENSAMIENTO LÓGICO" se convierta en ese rincón en el que todos podamos consultar y reconocer la voluntad de enseñar esa asignatura que tradicionalmemnte han convertido en un "coco".

Un abrazo a todos.

Rubén Yebra Gómez
2015, Mayo.